Question

已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝2．

（1）求；

（2）判断的奇偶性；

（3）函数在上是增函数还是减函数?并证明．

Answer 1

（1）；（2）奇函数；（3）增函数.

【解析】

试题分析：（1）根据题意将带入的解析式中，得到关于的方程，进而求得的值；（2）根据（1）得到，再根据函数奇偶性的定义判断其奇偶性，首先确定定义域关于原点对称，其次判断与的关系，得到，则原函数为奇函数；（3）根据函数单调性的定义，首先在任取且，带入函数中，用作差法比较与的大小，得到所以原函数在上为增函数.

试题解析：（1）f（1）=1＋m＝2，m＝1． 2分

（2）f（x）＝x＋，f（－x）＝－x－＝－f（x），∴f（x）是奇函数． 6分

（3）设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则 7分

f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）＝x1－x2＋（－）

＝x1－x2－＝（x1－x2）． 10分

当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，从而f（x1）－f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）．

∴函数f（x）＝＋x在（1，＋∞）上为增函数． 12分

考点：1.函数解析式；2.函数奇偶性；3.函数单调性.