Question

14．在等差数列{a_n}中，a₉=$\frac{1}{2}$a₁₂+6，a₂=4，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和为（　　）

• A． $\frac{11}{12}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₉=$\frac{1}{2}$a₁₂+6，a₂=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+8d=\frac{1}{2}（{a}_{1}+11d）+6}\\{{a}_{1}+d=4}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2．
∴S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．