Question

12．已知椭圆C过点$A（1，\frac{3}{2}）$，两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）EF是过椭圆焦点F₁的动直线，B为椭圆短轴上的顶点，当B到直线EF的距离最大时，求△EFB的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得c，设椭圆方程为$\frac{x^2}{{1+{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，把A的坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆方程可求；
（2）不妨取$B（0，\sqrt{3}）$，则${K_{B{F_1}}}=\sqrt{3}$，由题意知EF⊥BF₁，求得${k}_{EF}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，得到直线EF的方程，代入3x²+4y²=12，得：13x²+8x-32=0．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得E、F的横坐标的和与积，求得EF的长度，再求出BF₁的长度，可得当B到直线EF的距离最大时△EFB的面积．

解答 解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为$\frac{x^2}{{1+{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
∵A在椭圆上，∴$\frac{1}{{1+{b^2}}}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
解得b²=3，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）不妨取$B（0，\sqrt{3}）$，则${K_{B{F_1}}}=\sqrt{3}$，
当B到直线EF的距离最大时，EF⊥BF₁，∴${k}_{EF}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴直线EF：$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}（x+1）$，将其代入3x²+4y²=12，得：13x²+8x-32=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8}{13}，{x_1}{x_2}=-\frac{32}{13}$，
∴$|{EF}|=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\sqrt{{{（{-\frac{8}{13}}）}^2}+\frac{4×32}{13}}=\frac{48}{13}$，
又$|{B{F_1}}|=\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=2$，
∴${S_{△EFB}}=\frac{48}{13}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．