Question

在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
（1）若

a

与

b

-

c

都是非零向量，则

a

 • 

b

=

a

 • 

c

是

a

⊥(

b

-

c

)的充要条件
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

且x+y+z=1
（3）空间三个向量

a

，

b

，

c

，若

a

∥

b

，

b

∥

c

，  则

a

∥

c

（4）对于任意空间任意两个向量

a

， 

b

，

a

∥

b

的充要条件是存在唯一的实数λ，使

a

=λ

b

．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用“两个向量垂直”等价于“两向量的数量积为零”知①正确；根据空间向量基本定理可以推得②正确，举反例可得③、④不正确，因此可得题中的正确命题有两个．

解答：解：对于（1），由向量垂直的充要条件得：

a

•

b

=

a

•

c

?

a

(

b

-

c

)  =0?

a

⊥

b

-

c

，说明①正确．
对于（2），若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

且x+y+z=1，则

AP

=(x-1)

OA

+y

OB

+z

OC

=y(

OB

-

OA

)+z(

OC

-

OA

)
=y

AB

+z

AC

由空间向量基本定理，得

AP

、

AB

、

AC

三个向量共面，说明点P在平面ABC内．
反之，如果点P在平面ABC内，类似地可以证明存在x，y，z∈R，

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

且x+y+z=1，方法同上，因此②正确．
对于（3），若空间三个向量

a

，

b

，

c

，若

a

 ∥

b

且

b

∥

c

，但

b

是零向量，则不能满足

a

∥

c

，说明③不正确．
对于（4），若两个向量

a

， 

b

，

a

∥

b

，但若

b

=

o

但

a

不是零向量，则不存在实数λ，使

a

=λ

b

成立说明④不正确．
故选B．

点评：本题考查两个向量数量积的运算和充要条件的定义，属于基础题．熟练掌握向量运算性质，准确理解充要条件的含义，是解决本题的关键．