Question

已知：f（x）=2cos²x+sin2x-+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若x∈[-，]时，求f（x）的值域．

Answer 1

解：f（x）=sin2x+（2cos²x-1）+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T==π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-≤2x+≤2kπ+
得2kπ-≤2x≤2kπ+
∴kπ-≤x≤kπ+，k∈Z
函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因为x∈[-，]，∴2x+∈[-，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）
分析：（I）利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=2cos²x+sin2x-+1，为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期；
（II）将2x+看成整体在[2kπ-，2kπ+]上单调递增，然后求出x的取值范围，从而求出函数的单调增区间．
（III）根据x∈[-，]，求出2x+的范围，从而求出sin（2x+）的取值范围，从而求出f（x）的值域．
点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．