Question

在R上定义运算：pq=-（p-c）（q-b）+4bc（b、c∈R是常数）。记f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R，令f（x）=f₁（x）f₂（x）。
（1）如果函数f（x）在x=1处有极值-，试确定b、c的值；
（2）求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（3）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

Answer 1

解：（1）依题意
解
得或
若
则
f′（x）=
f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若，则

直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，
所以。
（2）解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、
相应的切线为y=cx+bc或
解
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），
b≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和。
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|
若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，
因为f′（1）与f′（-1）之差的绝对值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，
所以M＞2
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b±1）²
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）

若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），

当b=0，时，在[-1，1]上的最大值
故M≥k对任意的b，c恒成立的k的最大值为。