Question

【题目】某商场柜台销售某种产品，每件产品的成本为10元，并且每件产品需向该商场交a元（3≤a≤7）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（20≤x≤25）时，一天的销售量为（x﹣30）2件． （Ⅰ）求该柜台一天的利润f（x）（元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该柜台一天的利润f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣30）2（x﹣10﹣a），20≤x≤25 （Ⅱ）f'（x）=2（x﹣30）（x﹣10﹣a）+（x﹣30）2=（3x﹣2a﹣50）（x﹣30）．
令f'（x）=0，则 或x=30，
∵
∴①若 ，即3≤a≤5时，f'（x）≤0，x∈[20，25]，
∴f（x）在[20，25]上是减函数．
∴ =100（10﹣a）=1000﹣10a
②若5＜a≤7时，
当 时，f'（x）＞0，此时f（x）在 是增函数；
当 时，f'（x）＜0，此时f（x）在 是减函数．
∴ =
∴当3≤a≤5时，售价为20元时利润最大，最大利润g（a）为1000﹣10a；
当5＜a≤7时，售价为 元时利润最大，最大利润g（a）为
【解析】（Ⅰ）求出每件产品的利润，乘以价格得到利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）求出利润函数的导函数，由a的范围得到导函数零点的范围，分类讨论原函数在[9，11]上的单调性，并求出a在不同范围内的利润函数的最值．