Question

在数列中，对于任意自然数，都有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²=

4n-1

3

．

Answer 1

分析：利用Sn与an关系，得出a_n²=4 ^{n-1， _得出}数列{a_n²}是以4为公比的等比数列，利用等比数列求和公式计算即可．

解答：解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1   ①∴a₁+a₂+…+a_n+1+a_n+1=2ⁿ⁺¹-1②，②-①得a _n+1=2ⁿ∴a_n²=4 ^n-1，数列{a_n²}是以4为公比的等比数列，由a₁=2-1=1，得a₁²=1
由等比数列求和公式得a₁²+a₂²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

故答案为：

4n-1

3

．

点评：本题考查了Sn与an关系的具体应用，等比数列的定义，判断，求和公式．