Question

（2012•广元三模）在数列{a_n}中，a₁=l，a₂=2，且an+2-an=1+(-1

)

n

(n∈

N

+

)，则其前100项之和S₁₀₀=

2600

．

Answer 1

分析：当n为奇数时，由a_n+2-a_n=0，a₁=l，可求得a₁=a₃=a₅=…=a₉₉=1；当n为偶数时，由a_n+2-a_n=2，a₂=2，可知{a_2n}是以首相为2，公差为2的等差数列，从而可求答案．

解答：解：有题意可知，
①当n为奇数时，a_n+2-a_n=0，而a₁=l，
∴得a₁=a₃=a₅=…=a₉₉=1；
②当n为偶数时，a_n+2-a_n=2，又a₂=2，
∴{a_2n}是以首相为2，公差为2的等差数列，
∴a_2n=2+（n-1）×2=2n，
∴a₁₀₀=100．
∴其前100项之和S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₉）+（a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀）
=50+

(a2+a100)×50

2

=50+

(2 +100 )×50

2

=50+2550
=2600．
故答案为：2600．

点评：本题考查等差数列的求和，对n分奇数与偶数进行分类讨论是求和的关键，突出转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档题．