Question

已知sinx+siny=

2

3

，则

2

3

+siny-cos²x的取值范围是

[

1

12

，

7

9

]

．

Answer 1

分析：利用正弦函数的有界性由siny=

2

3

-sinx∈[-1，1]可求得sinx的取值范围，从而利用二次函数的性质可求得

2

3

+siny-cos²x的取值范围．

解答：解：∵sinx+siny=

2

3

，
∴-1≤siny=

2

3

-sinx≤1，
∴-

1

3

≤sinx≤

5

3

，又-1≤sinx≤1，
∴-

1

3

≤sinx≤1．①
∴f（x）=

2

3

+siny-cos²x
=

2

3

+

2

3

-sinx-（1-sin²x）
=sin²x-sinx+

1

3

=(sinx-

1

2

)2+

1

12

，
∵-

1

3

≤sinx≤1，
∴当sinx=

1

2

时，函数f（x）=(sinx-

1

2

)2+

1

12

取到最小值

1

12

；
又（-

1

3

，0）距离对称轴sinx=

1

2

的距离为

5

6

，（1，0）距离对称轴sinx=

1

2

的距离为

1

2

，

5

6

＞

1

2

，
∴当sinx=-

1

3

时，函数f（x）=(sinx-

1

2

)2+

1

12

取到最大值

25

36

+

1

12

=

7

9

．
∴

2

3

+siny-cos²x的取值范围是[

1

12

，

7

9

]．
故答案为：[

1

12

，

7

9

]．

点评：本题考查正弦函数的有界性，考查二次函数的单调性与最值，考查转化思想与运算能力，属于中档题．