Question

设抛物线y=x²过一定点A （-a，a²）（a＞

2

），P（x，y）是抛物线上的动点．
（I）将

AP

2表示为关于x的函数f（x），并求当x为何值时，f（x）有极小值；
（II）设（I）中使f（x）取极小值的正数x为x₀，求证：抛物线在点P₀（x₀，y₀）处的切线与直线AP₀垂直．

Answer 1

分析：（I）先写出向量

AP

的坐标，再利用向量数量积运算性质求出函数f（x）的解析式，最后利用导数求函数的单调区间，得到函数的极值点即可
（II）先利用斜率公式，计算直线AP₀的斜率（用a表示），再利用导数的几何意义计算抛物线在点P₀（x₀，y₀）处的切线斜率，最后将两个斜率相乘结果为-1即得证

解答：解：（I）

AP

=(x+a，y-a2)=(x+a，x2-a2)，则

f(x)= AP 2=(x+a)2+(x2-a2)2=x4+(1-2a2)x2+2ax+a4+a2

．
∴f'（x）=4x³+2（1-2a²）x+2a．令f'（x）=0得2x³+（1-2a²）x+a=0，即（x+a）（2x²-2ax+1）=0．
∵a＞

2

，
∴此方程有三个根x₁=-a，x₂=

a- a2-2

2

，x3=

a+ a2-2

2

，
①当x＜-a时，f'（x）＜0；
②当-a＜x＜

a- a2-2

2

时，f'（x）＞0；
③当

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

时，f'（x）＜0；
④当x＞

a+ a2-2

2

时，f'（x）＞0．
∴当x=-a或x=

a+ a2-2

2

时，f（x）有极小值
（II）由（I）知，x₀=

a+ a2-2

2

，
则直线AP₀的斜率k₁=

x 2 0 -a2

x0+a

=x0-a=

a+ a2-2

2

-a=

a2-2 -a

2

，
又抛物线y=x²在点P₀（x₀，y₀）处的切线的斜率k₂=2x₀=a+

a2-2

，∴k₁k₂=

a2-2 -a

2

×(a+

a2-2

)=

a2-2-a2

2

=-1，
∴抛物线在点P₀（x₀，y₀）处的切线与直线AP₀垂直．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数极值的关系，解题时需要有扎实的解含参数不等式的功底，还要有较强的计算能力