Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有______（填上所有正确的序号）
①f（x）=x²（x≥0）；②f（x）=e^x（x∈R）；③f（x）=

4x

x2+1

(x≥0)；④f（x）=loga(ax-

1

8

)(a＞0，a≠1)．

Answer 1

函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)=2a f(b)=2b

，或

f(a)=2b f(b)=2a

．
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

ea=2a eb=2b

，
构建函数g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，
∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，
∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0），f′（x）=

4(x2+1)-4x×2x

(x2+1)2

=

4(1+x)(1-x)

(x2+1)2

，
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f（x）=loga（ax-

1

8

）（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，
则

f(a)=2a f(b)=2b

，

f(m)=2m f(n)=2n

，
∴

loga(am- 1 8 )=2m loga(an- 1 8 )=2n

，
∴2m，2n是方程loga（ax-

1

8

）=2x的两个根，
∴2m，2n是方程a2x-ax+

1

8

=0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．
故答案为：①③④．