练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=1．
    （Ⅰ）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为
    6
    5
    ，求直线l的方程；
    （Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求
    C1E
    •
    C1F
    的取值范围；
    （Ⅲ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
    （Ⅰ）设直线l的方程为y=k（+1），即kx-y+k=0．
    因为直线l被圆C2截得的弦长为
    6
    5
    ，而圆C2的半径为1，
    所以圆心C2（3，4）到l：kx-y+k=0的距离为
    |4k-4|
    		k2+1
    =
    4
    5
    ．
    化简，得12k2-25k+12=0，解得k=
    4
    3
    或k=
    3
    4
    ．
    所以直线l方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0…（4分）
    （Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆
    设∠EC1F=2α，则在Rt△PC1E中，cosα=
    |C1E|
    |PC1|
    =
    1
    |PC1|
    ，
    有cos2α=2cos2α-1=
    2
    |PC1|2
    -1    ，
    则
    C1E
    •
    C1F
    =|
    C1E
    ||
    C1F
    |cos2α=cos2α=
    2
    |PC1|2
    -1
    由圆的几何性质得，|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，4≤|PC1|2≤16
    则
    C1E
    •
    C1F
    的最大值为-
    1
    2
    ，最小值为-
    7
    8
    ．
    故
    C1E
    •
    C1F
    ∈[-
    7
    8
    ，-
    1
    2
    ]    ．…（8分）
    （Ⅲ）设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2，
    即
    		(x+1)2+y2
    =
    		(x-3)2+(y-4)2
    ．
    化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
    设C（m.3-m），则动圆C的半径为
    		1+CC12
    =
    		(1+(m+1)2+(3-m)2
    ．
    于是动圆C的方程为（x-m）2+（y-3+m）2=1+（m+1）2+（3-m）2．
    整理，得x2+y2-6y-2-2m（x-y+1）=0．
    由
    x-y+1=0
    x2+y2-6y-2=0
    得
    x=1+
    3
    2
    		2
    y=2+
    3
    2
    		2
    或
    x=1-
    3
    2
    		2
    y=2-
    3
    2
    		2

    所以定点的坐标为（1-
    3
    2
    		2
    ，2-
    3
    2
    		2
    ），（1+
    3
    2
    		2
    ，2+
    3
    2
    		2
    ）…（13分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
    （Ⅰ）求双曲线C2的方程；
    （Ⅱ）以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）2+y2=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与圆M，N相交，且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为
    		3
    ：1    ，试求所有满足条件的点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知离心率为
    		6
    3
    的椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    一束光线从点（0，1）出发，经过直线x+y-2=0反射后，恰好与椭圆x2+
    y2
    2
    =1    相切，则反射光线所在的直线方程为______．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，
    3
    2
    )    到F1、F2两点的距离之和为4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C：y=-x2+2x，在点A（0，0），B（2，0）分别作抛物线的切线L1、L2．
    （1）求切线L1和L2的方程；
    （2）求抛物线C与切线L1和L2所围成的面积S．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y2=2px（p＞0）上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2．
    （Ⅰ）求p的值；
    （Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的
    1
    2
    ，求直线MB的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
    （1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
    （2）求弦AB中点M的轨迹方程．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案