Question

甲、乙、丙三人独立参加入学考试合格的概率分别为

2

3

，

1

2

，

2

5

求：①三人中恰有两人合格的概率；
②三人中至少有一人合格的概率．
③合格人数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：三个人中恰有2个合格，包括三种情况即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且这三种情况是互斥的，再根据相互独立事件的概率乘法公式可得答案．
（2）由于事件“三人中至少有一人合格”与事件“三人都没有合格”是对立事件，所以根据题意求出事件“三人都没有合格的概率”，再求出事件“三人中至少有一人合格”的概率．
（3）由题意可得：合格人数ξ可能取的值为：0，1，2，3，再结合题中的条件与相互独立事件的概率乘法公式分别求出它们发生的概率，进而求出ξ的数学期望．

解答：解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件，并且是研究同时发生的概率．
三个人中恰有2个合格，包括三种情况即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且这三种情况是互斥的，
所以三人中恰有两人合格的概率

2

3

×

1

2

×

3

5

+

2

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

=

2

5

．
所以三人中恰有两人合格的概率为

2

5

．
（2）因为事件“三人中至少有一人合格”与事件“三人都没有合格”是对立事件，
所以它们的概率之和为1．
因为三人都没有合格的概率为：

1

3

×

1

2

×

3

5

=

1

10

，
所以三人中至少有一人合格的概率为

9

10

．
（3）由题意可得：合格人数ξ可能取的值为：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=

1

3

×

1

2

×

3

5

=

1

10

，P（ξ=1）=

2

3

×

1

2

×

3

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

3

5

=

11

30

，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

×

3

5

+

2

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

=

2

5

，P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

2

5

=

4

30

=

2

15

所以合格人数ξ的期望为：E（ξ）=0×

1

10

+1×

11

30

+2×

2

5

+3×

2

15

=

47

30

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式与对立事件的定义，以及离散型随机变量的期望，此题属于中档题．