Question

5．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°a=3，则△ABC的周长的取值范围（　　）

• A． [6，9]
• B． [3$\sqrt{3}$+3，9）
• C． （6，9]
• D． （3$\sqrt{3}$+3，9]

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，于是a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（ $\frac{2π}{3}$-B）化简整理即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosB=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，
∵$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴（a+b+c）∈（3+3$\sqrt{3}$，9]．
故选：D．

点评 本题主要考查正弦定理、诱导公式、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．