Question

9．已知椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F₁，F₂分别是其左、右焦点，O是坐标原点，A是椭圆上不同于顶点的任一点，$∠A{F_1}{F_2}={30^0}，AO=O{F_2}$，该椭圆的离心率e=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 易得AF₁F₂是以A为直角定点的直角三角形，AF₁=2a-c，AF₂=c．由勾股定理得，（2a-c）²+c²=（2c）²⇒2ac+c²-a²=0⇒离心率e．

解答 解：A是椭圆上不同于顶点的任一点，$∠A{F_1}{F_2}={30^0}，AO=O{F_2}$，
∴△AF₁F₂是以A为直角定点的直角三角形，∴AF₁=2a-c，AF₂=c．
由勾股定理得，（2a-c）²+c²=（2c）²⇒，2ac+c²-a²=0⇒离心率e=$\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查了椭圆的离心率，多用定义及平面几何的知识，属于基础题．