Question

义域分别是D_f，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x)     (x∈Df且x∈Dg) f(x)     (x∈Df且x∉Dg) g(x)   (x∉Df且x∈Dg)

，
若函数f（x）=-2x+3，x≥1；g（x）=x-2，X∈R．则函数h（x）的解析式为

h(x)=

-2x2+7x-6  (x≥1) x-2                 (x＜1)

，函数h（x）的最大值为

1

8

．

Answer 1

分析：由于函数f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，对x进行分类讨论：当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）；当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．从而得出h（x）的解析式；
分段函数的值域分段求，所以分别求出x≥1和x＜1时的值域，最后取并集即得函数h（x）的值域，则最大值可求．

解答：解：（1）由于函数f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，根据题意得：
当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x²+7x-6；
当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．
所以h(x)=

-2x2+7x-6  (x≥1) x-2                 (x＜1)

．
（2）当x≥1时，h（x）=-2x²+7x-6=--(x-

7

4

)2+

1

8

，因此，当x=

7

4

时，h（x）最大，h（x）的最大值为

1

8

．
若x＜1时，h（x）=x-2＜1-2=-1．
∴函数h（x）的最大值为 

1

8

．

点评：本小题主要考查函数的值域、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．