Question

某工厂生产容积为米³的无盖圆锥形容器，容器的底面半径为r（米），而制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，设计时材料厚度忽略不计．
（1）把容器的成本y（元）表示为r的函数；
（2）如何设计容器的尺寸，可使成本最低，最低成本是多少？（结果精确到1元）

Answer 1

解：（1）∵底面半径为r，制造底面的材料每平方米30元
∴底面造价为：30πr²，
而由无盖圆锥形容器容积为米³，我们易得容器壁的造价为：40πr
则容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式：
y=30πr²+40πr
=30πr²+（r＞0）；
（2）由（1）中，y=30πr²+（r＞0）=30π（r²++）≥90≈283元，
当且仅当底面半径r=1时取等号．
故当当底面半径r=1米时，可使成本最低，最低成本是283元．
分析：（1）由无盖圆锥形容器容积为米³，我们设底面半径为r，易求出底面面积，及侧（容器壁）面积，然后再根据制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，我们可得到容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式；
（2）根据（1）中的容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式，结合基本不等式，我们易求出成本最低值，及对应的底面半径r的值．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．