Question

某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，要求个体教职员工都参加其中的某一项目.据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而去娱乐室的人有20%下次去健身房，设第n次去健身房的人数为a_n.

（1）试用a_n表示a_n+1；

（2）随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？说明理由.

Answer 1

解:（1）由第n次去健身房的人数为a_n，得第n次去娱乐室的人数为150-a_n.

依题意得a_n+1=a_n+(150-a_n)=a_n+30.

（2）解法1：由a_n-1=a_n+30+30,

设=A,则=A.

∴A=A+30,解得A=100.

故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

解法2：令a_n+1-x=（a_n-x）,则a_n+1=a_n+x，

∴310x=30，得x=100，则a_n+1-100=（a_n-100），

∴{a_n-100}是首项为 a₁-100,公比为的等比数列.

故a_n-100=（a₁-100）·()^n-1，即a_n=100+(a₁-100)·()^n-1,

∴=100,故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.