Question

10．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
（1）求f（x）；
（2）若y=f（x）-kx在[2，4]上是单调减函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；
（2）若y=f（x）-kx在[2，4]上是单调减函数，则$\frac{k+1}{2}$≥4，解得k的取值范围．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
故2a=2，且a+b=0，
∴a=1．b=-1
所以f（x）=x²-x+1，
（2）函数y=f（x）-kx=x²-（k+1）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{k+1}{2}$为对称轴的抛物线，
若y=f（x）-kx在[2，4]上是单调减函数，则$\frac{k+1}{2}$≥4，
解得：k≥7

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．