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已知f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx+d的图象过原点,且在点(-1,f(-1))处的切线与x轴平行.对任意x∈R,都有x≤f′(x)≤
1
2
(x2+1)

(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设g(x)=12f(x)-4x2-3x-3,h(x)=
m
x
+x•lnx,对任意x1x2∈[
1
2
,2]
,都有h(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.
分析:(1)y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是f′(1),由x≤f′(x)≤
1
2
(x2+1)
,得f′(1)的值;
(2)由f(x)求导函数f′(x),由f′(1)=1且f′(-1)=0,得a、b、c的关系式,又x≤f′(x)恒成立,可得a(或b)的值,从而得f(x)的解析式;
(3)由h(x1)≥g(x2),先求g(x)在闭区间[
1
2
,2]上的最大值g(x)max,令h(x)≥g(x)max恒成立,解得m的取值范围.
解答:解:(1)∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为k=f'(1),
又x≤f′(x)≤
1
2
(x2+1)
,∴1≤f′(1)≤
1
2
(1+1)
,∴k=f'(1)=1;
(2)∵f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx+d,∴f′(x)=ax2+bx+c,
由f′(1)=1且f′(-1)=0,得a+b+c=1,且a-b+c=0;
b=
1
2
    c=
1
2
-a

∵对x∈R,x≤f′(x)恒成立.即:ax2-
1
2
x+
1
2
-a≥0
恒成立,
a>0
△=
1
4
-4a(
1
2
-a)=4a2-2a+
1
4
≤0

a=
1
4
,∴f(x)=
1
12
x3+
1
4
x2+
1
4
x

(3)∵g(x)=12f(x)-4x2-3x-3,
∴g(x)=x3+3x2+3x-4x2-3x-3=x3-x2-3;
∴g(x)max=g(2)=1,
∴对[
1
2
,2]
,h(x)≥1恒成立
即:m≥x-x2•lnx,
令p(x)=x-x2lnx,则p'(x)=1-2x•lnx-x.
由p'(1)=0,得x∈(1,2)时,p′(x)<0,x∈(
1
2
,1)时,p′(x)>0;
∴p(x)max=p(1)=1,
∴m≥1,即m的取值范围是{x|m≥1}.
点评:本题通过导数考查了求函数的斜率以及函数的解析式,不等式恒成立问题,是较难的题目.
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a>
1
3
a>
1
3

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13a
,且x∈(0,x1),证明:x<g(x)<x1

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科目:高中数学 来源:2010年大连市高二六月月考理科数学卷 题型:解答题

(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d (b,c,d∈R且都为常数)的导函数f¢(x)=3x2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax2

(1)当a<2时,求F(x)的极小值;

(2)若对任意x∈[0,+∞)都有F(x)≥0成立,求a的取值范围;

(3)在(2)的条件下比较a2-13a+39与的大小.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理)已知函数f(x)=(m∈R,e=2.718 28…是自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的极值;

(2)当x>0时,设f(x)的反函数为f-1(x),对0<p<q,试比较f(q-p)、f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小.

(文)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d∈R且都为常数)的导函数为f′(x)=3x2+4x,且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax2(a∈R).

(1)当a<2时,求F(x)的极小值;

(2)若对任意的x∈[0,+∞),都有F(x)≥0成立,求a的取值范围并证明不等式a2-13a+39≥.

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(1)求函数f(x)的极值;

(2)当x>0时,设f(x)的反函数为f-1(x),对0<p<q,试比较f(q-p)、f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小.

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