Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2．设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a=2

2

2k-1

，数列{b_n}满足b_n=

1

n

log2(a1a2…an)（n=1，2，…，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{b_n}满足不等式|b₁-

3

2

|+|b₂-

3

2

|+…+|b_2k-1-

3

2

|+|b_2k-

3

2

|≤4，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要利用分类讨论的思想，分别对n=1时和2≤n≤2k-1时进行讨论，进而获得a_n与a_n+1的关系，故可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论和条件获得a_n的表达式，然后对a₁a_2…a_n进行化简，结合对数运算即可获得数列{b_n}的通项公式；
（3）首先利用分类讨论对bn与

3

2

的大小进行判断，然后对所给不等式去绝对值，即可找到关于k的不等式，进而问题即可获得解答．

解答：解：由题意：
（1）证明：
当n=1时，a₂=2a，则

a2

a1

=a；
当2≤n≤2k-1时，a_n+1=（a-1）S_n+2，a_n=（a-1）S_n-1+2，
∴a_n+1-a_n=（a-1）a_n，
∴

an+1

an

=a，
∴数列{a_n}是等比数列．
（2）解：由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿ a^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿa

n(n-1)

2

=2n+

n(n-1)

2k-1

，
b_n=

1

n

[n+

n(n-1)

2k-1

]=

n-1

2k-1

+1（n=1，2，2k）．
（3）设b_n≤

3

2

，解得n≤k+

1

2

，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜

3

2

；
当n≥k+1时，b_n＞

3

2

．
原式=（

3

2

-b₁）+（

3

2

-b₂）+…+（

3

2

-b_k）+（b_k+1-

3

2

）+…+（b_2k-

3

2

）
=（b_k+1+…+b_2k）-（b₁+…+b_k）
=[

1 2 (k+2k-1)k

2k-1

+k]-[

1 2 (0+k-1)k

2k-1

+k]=

k2

2k-1

．
当

k2

2k-1

≤4，得k²-8k+4≤0，4-2

3

≤k≤4+2

3

，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，
原不等式成立．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、对数运算的知识以及绝对值和解不等式的知识．值得同学们体会和反思．