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    某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f（x）=|
    1
    2
    sin
    π
    32
    x+
    1
    3
    -a    |+2a，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[
    1
    3
    ，
    3
    4
    ]    ．若将每天中f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
    （Ⅰ）令t=
    1
    2
    sin
    π
    32
    x    ，x∈[0，24]，求t的取值范围；
    （Ⅱ）求函数M（a）的解析式；
    （Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？
    分析：（I）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围；
    （Ⅱ）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
    23
    12
    ，它小于2，即可得出结论．
    解答：解：（Ⅰ）因为x∈[0，24]，所以
    πx
    32
    ∈[0，
    3π
    4
    ]    ，所以sin(
    πx
    32
    )∈[0，1]    ，故t∈[0，
    1
    2
    ]    ．
    （Ⅱ）因为a∈[
    1
    3
    ，
    3
    4
    ]    ，所以0≤a-
    1
    3
    ≤
    5
    12
    ＜
    1
    2
    ，
    所以f(t)=|t-(a-
    1
    3
    )|+2a=
    -t+3a-
    1
    3
    ，t∈[0，a-
    1
    3
    ]
    t+a+
    1
    3
    ，t∈[a-
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]
    ．
    当t∈[0，a-
    1
    3
    ]    时，f(t)max=f(0)=3a-
    1
    3
    ；
    当t∈[a-
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]    ，f(t)max=f(
    1
    2
    )=
    5
    6
    +a    ．
    而f(0)-f(
    1
    2
    )=2a-
    7
    6
    ，
    当
    1
    3
    ≤a≤
    7
    12
    ，f(0)≤f(
    1
    2
    )    ，M(a)=f(
    1
    2
    )=
    5
    6
    +a    ；
    当
    7
    12
    ＜a≤
    3
    4
    ，f(0)＞f(
    1
    2
    )    ，M(a)=f(0)=3a-
    1
    3
    ．
    所以M(a)=
    5
    6
    +a，a∈[
    1
    3
    ，
    7
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    ]
    3a-
    1
    3
    ，a∈(
    7
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    ，
    3
    4
    ]
    ，
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
    23
    12
    ，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标．
    点评：本题考查三角函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    x
    x2+1
    +
    1
    3
    -a|+2a    ，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且a∈[0，
    3
    4
    ]    ，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
    （1）令t=
    x
    x2+1
    ，x∈[0，24]    ，求t的取值范围；
    （2）求函数M（a）；
    （3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

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    (Ⅰ)令t＝，，求t的取值范围；

    (Ⅱ) 求函数M(a)的解析式；

    (Ⅲ) 为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？

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    （1）令，求t的取值范围；
    （2）求函数M（a）；
    （3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

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    （1）令，求t的取值范围；
    （2）求函数M（a）；
    （3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

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