Question

如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：先求出木板对球的支持力为

N

，由动力矩等于阻力矩解出绳子的拉力为 

f

，再利用基本不等式求出 

f

 的最小值．

解答：解：如图：设木板对球的支持力为

N

，则

N

=

10

sinα

，
设绳子的拉力为 

f

．
又AC=20cosα，AD=

6

tan α 2

，
由动力矩等于阻力矩得

f

×20cosα=

N

×

6

tan α 2

=

60

sinα•tan α 2

，
∴

f

=

60

20cosα•sinα•tan α 2

=

3

cosα(1-cosα)

≥

3

( cosα+1-cosα 2 )2

=

3

1 4

=12，
∴当且仅当 cosα=1-coaα  即cosα=

1

2

，亦即 α=60°时，

f

 有最小值12N．

点评：本题考查向量在物理中的应用，基本不等式ab≤(

a+b

2

)2的应用，体现了数形结合的数学思想．