Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，AA₁⊥底面ABCD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E、F分别是侧棱BB₁、CC₁上一点，BE=1，CF=2，平面AEF与侧棱DD₁相交于G．
（1）证明：平面AEFG⊥平面BB₁C₁C；
（2）求线段CG与平面AEFG所成角的正弦值；
（3）求以C为顶点，四边形AEFG在对角面BB₁D₁D内的正投影为底面边界的棱锥的体积．

Answer 1

分析：（1）先利用条件证明BD⊥平面AA₁D₁D，再推得GE∥BD⇒GE⊥平面BB₁C₁C⇒平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．
（2）先利用条件证明CE⊥平面AEFG，⇒∠CGE是CG与平面AEFG所成的角，然后在△CGE中求线段CG与平面AEFG所成角的正弦值即可；
（3）因为四边形AEFG在对角面BB₁D₁B内的正投影为平行四边形，且点A的正投影为点D，所以找到底面积S=DG×GE=

3

，
高h=BC=1，再代入体积计算公式即可．
方法二：是用建立空间直角坐标系D-xyz的方法来求
（1）先利用条件找到平面AEFG的一个法向量和平面BB₁C₁C的一个法向量，再推得他们的数量积为0即可．
（2）把线段CG与平面AEFG所成角的正弦值转化为求平面AEFG的一个法向量与

GC

=(-1，

3

，-1)所成角的余弦值的绝对值来求．

解答：解：（1）证明：连接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=

3

，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因为AA₁⊥底面ABCD，AA₁⊥BD，AA₁∩AD=A，
所以BD⊥平面AA₁D₁D，因为平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C，
所以AE∥FG，同理AG∥EF，所以AEFG是平行四边形，
所以AG=EF，

AD2+DG2

=

BC2+(CF-BE)2

，所以DG=CF-BE=1=BE，
连接EG，因为DG∥BE，所以BDGE是平行四边形，GE∥BD，
因为BD⊥平面AA₁D₁D，所以GE⊥平面BB₁C₁C，GE?平面AEFG，所以平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．

（2）连接CE，因为CF=2、CE=

BC2+BE2

=

2

=EF，CF²=CE²+EF²，所以CE⊥EF，
因为平面AEFG⊥BB₁C₁C，平面AEFG∩BB₁C₁C=EF，CE?平面BB₁C₁C，所以CE⊥平面AEFG，
连接EG，则CE⊥EG，∠CGE是CG与平面AEFG所成的角，
因为CG=

CD2+DG2

=

5

，所以sin∠CGE=

CE

CG

=

2

5

．

（3）四边形AEFG在对角面BB₁D₁B内的正投影为平行四边形，且点A的正投影为点D，
所以底面积S=DG×GE=

3

（12分），
高h=BC=1（14分），所以棱锥的体积V=

1

3

Sh=

3

3

．
方法二：（1）连接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=

3

，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因为AA₁⊥底面ABCD，所以以D为坐标原点，DA、DB、DD₁
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0）、E(0，

3

，1)、F(-1，

3

，2)，
设平面AEFG的一个法向量为

n1

=（a，b，c），则

n1 • AE =0 n1 • EF =0

，

-a+ 3 b+c=0 -a+c=0

，
取a=1得

n1

=（1，0，1），平面BB₁C₁C的一个法向量为

n2

=（0，1，0），
因为

n1

•

n2

=0，所以平面AEFG⊥BB₁C₁C．

（2）设G（0，0，d），因为平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C，所以AE∥FG，同理AG∥EF，
所以AEFG是平行四边形，所以

AG

=

EF

，
即（-1，0，d）=（-1，0，1），解得d=1，又C(-1，

3

，0)，所以

GC

=(-1，

3

，-1)，
设CG与平面AEFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜

n1

，

GC

＞|=

| n1 • GC |

| n1 |•| GC |

=

2

5

．

点评：本题综合考查了平面和平面垂直的判定和性质以及线面角，几何体的体积计算．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．