Question

设0＜θ＜，曲线x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4个不同的交点.

(1)求θ的取值范围；

(2)证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

Answer 1

(1)解：两曲线的交点坐标(x,y)满足方程组有4个不同交点等价于x²＞0且y²＞0,即

又∵0＜θ＜,∴θ的范围为(0,).

(2)证明：由(1)的推理知，4个交点坐标(x,y)满足方程x²+y²=2cosθ(0＜θ＜)，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r=(0＜θ＜).

∵cosθ在(0,)上是减函数，

∴由cos0=1,cos=知r的取值范围是().