Question

双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，准线方程为．
（1）求双曲线方程；
（2）若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点，求k范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据渐近线方程为，可假设方程为，再利用准线方程，可求双曲线方程；
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x，y），将MN的方程为代入，再利用Q（x，y）在直线y=kx+1，及判别式可求k范围．
解答：解：（1）设双曲线方程为
由准线方程知
∴双曲线方程为
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x，y）
设MN的方程为代入
得
由且
又Q（x，y）在直线y=kx+1
∴
∴
代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴或 且
∴∪∪∪
点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，有一定的综合性．