Question

已知方程（）^x=的解x∈（，），则正整数n=________．

Answer 1

2
分析：先将方程的根的问题转化为函数的零点问题，再判断函数的单调性确定若存在零点，则只有一个，最后利用零点存在性定理，证明零点所在的范围，对照已知求得n值
解答：方程（）^x=的解即函数f（x）=（）^x-的零点
∵y=（）^x为定义域上的减函数，y=-为定义域上的减函数
∴函数f（x）为定义域R上的单调减函数
又∵f（）=-＞0，（考虑幂函数y=为R上的增函数）
f（）=-＜0，（考虑指数函数y=（）^x为R上的减函数）
即f（）×f（）＜0
∴函数f（x）=（）^x-在区间（，）上有且只有一个零点
∴=，即n=2
故答案为 n=2
点评：本题考查了方程的根与函数零点间的关系，零点存在性定理，二分法求函数的零点的范围，指数函数与幂函数的单调性