Question

（2012•浦东新区三模）如图，弧AEC是半径为r的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，线段ED与弧EC交于点G，且EG=

2

3

GD，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FC=2r．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）将△FCG（及其内部）绕FC所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）由圆周角的性质可得EB⊥AD，由线面垂直的性质可得EB⊥FC，结合线面垂直的判定可得EB⊥平面FBD，进而可得EB⊥FD；
（2）如图所示建立空间直角坐标系，可得C（0，0，0），B（0，-r，0），E（r，-r，0），D（0，r，0），G（

3r

5

，-

1

5

r，0），由圆锥的条件公式可得．

解答：解：（1）∵AC为直径，点E为弧AC的中点，∴∠ABE=90°，即EB⊥AD，
又FC⊥平面BED，EB平面?BED，∴EB⊥FC，又AD∩FC=C，
∴EB⊥平面FBD，FD?平面FBD，∴EB⊥FD
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
可得C（0，0，0），B（0，-r，0），E（r，-r，0），D（0，r，0），设G（x，y，0），
则由EG=

2

3

GD，可得x=

3r

5

，y=-

1

5

r，∴G的坐标为（

3r

5

，-

1

5

r，0），
则|CG|2=(

3r

5

)2+(-

1

5

r)2+02=

2

5

r2，由题意可知所得的几何体为圆锥，
其底面积为π|CG|²=

2

5

πr2，高FC=2r，
所以该圆锥的条件为V=

1

3

×

2

5

πr2×2r=

4

15

πr3

点评：本题考查平面与平面垂直的性质，涉及几何体条件的求解，属中档题．