Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．
所以，cos＜＞=．（3分）
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，
所以，异面直线BE与AC所成角的余弦值是．（4分）
（II），，
设平面ABE的法向量为n₁=（x，y，z），
则由，，得，
取n₁=（2，3，3），（6分）
又因为OA⊥面OBC
所以平面BEC的一个法向量为n₂=（0，0，1），
所以．（8分）
由于二面角A-BE-C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，
所以，二面角A-BE-C的余弦值是．（10分）
分析：（1）本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出异面直线BE与AC的方向向量，利用夹角公式求异面直线BE与AC所成角的余弦值即可．
（2）分别同平面ABE的法向量为和平面BEC的一个法向量．再根据二面角A-BE-C的平面角是两个法向量n₁与n₂的夹角的补角，利用夹角公式求法向量所成角的余弦值即可．
点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积等与立体几何中线面、面面位置关系的对应．