数学课上,张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥(如图所示),然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了 一个三棱锥,陈成同学边听课边动手操作,也将其中的两根换掉,但没有成功,不能搭成三棱锥,如果两人都将BD换成了长为的塑料棒.
(1)试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么,而陈成同学换掉的另 一根塑料棒又是什么?
请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因;
(2)试证:平面ABD⊥平面CBD;
(3)求新三棱锥的外接球的表面积.
(1)张老师换掉的另一根塑料棒是CD(或AD、BC、BA),而陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC.……………………………3分
根据题意作出如图所示的图形,其中图(1)表示陈成同学想搭成的三棱锥,取AC中点E,连结BE、DE,因AB2+CB2=AC2=2a2,所以BE是直角△ABC斜边上的中线,得BE=,同理,DE=,从而由BE+DE==BD,不能构成三角形,所以图(1)错误. …………5分
(2)如图(2),不妨设张老师换掉的另一根塑料捧是CD,取BD中点F,连结AF、CF,因△ABD是等腰三角形,所以AF⊥BD,又△BCD是直角三角形.所以CF=BF=DF.又AB=AC=AD,所以△ABF≌△ACF,从而AF⊥CF,又CF与BD确定平面BCD,所以AF ⊥平面BCD.又AF平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD. ……………………………9分
(3)由(2)可知:三俊锥的外接球的球心必在直线AF上,设球半径为R,因BF=,AB=a,∴AF=,
由,
所以新三棱锥的外接球的表面积S=.…………………………12分
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:2011年辽宁省名校高三数学单元测试:空间向量与立体几何(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2009-2010学年度新课标高三上学期数学单元测试8-理科-立体几何初步、空间向量与立体几何 题型:解答题
数学课上,张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥(如图所示),然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了一个三棱锥,陈成同学边听课边动手操作,也将其中的两根换掉,但没有成功,不能搭成三棱锥,如果两人都将BD换成了长为的塑料棒.
(1)试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么,而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么?请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因;
(2)试证:平面ABD⊥平面CBD;
(3)求新三棱锥的外接球的表面积.
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