Question

设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出平面区域U的整点的个数N，平面区域V的整点个数为n，这些整点中恰有2个整点在区域V的概率P=

C 5 2 ． C 8 1

C 13 3

=

40

143

；
（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•2²=4π，平面区域V的面积为：

1

2

×2×2=2，在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为

2

4π

=

1

2π

，易知：X的可能取值为0，1，2，3，则X∽B（3，

1

2π

），代入概率公式即可求得求X的分布列和数学期望．

解答：解：（1）依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个，
平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，
∴P=

C 2 5 ． C 1 8

C 3 13

=

40

143

（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•2²=4π，平面区域V的面积为：

1

2

×2×2=2，
在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为

2

4π

=

1

2π

，
易知：X的可能取值为0，1，2，3，
且P(X=0)=

C

0 3

•(

1

2π

)0•(1-

1

2π

)3=

(2π-1)3

8π3

，P(X=1)=

C

1 3

•(

1

2π

)1•(1-

1

2π

)2=

3(2π-1)2

8π3

，P(X=2)=

C

2 3

•(

1

2π

)2•(1-

1

2π

)1=

3(2π-1)

8π3

，P(X=3)=

C

3 3

•(

1

2π

)3•(1-

1

2π

)3=

1

8π3

∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	(2π-1)3 8π3	3(2π-1)2 8π3	3(2π-1) 8π3	1 8π3

∴X的数学期望：EX=0×

(2π-1)3

8π3

+1×

3(2π-1)2

8π3

+2×

3(2π-1)

8π3

+3×

1

8π3

=

3

2π

（或者：X\～B(3，

1

2π

)，故EX=np=3×

1

2π

=

3

2π

．

点评：此题是个中档题．考查古典概型和几何概型以及二项分布的期望求法，同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力．