Question

点A、B分别是以双曲线

x2

16

-

y2

20

=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，

PA

•

PF

=0
（I）求椭圆C的方程；
（II）求点P的坐标；
（III）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值．

Answer 1

分析：（I）求出双曲线

x2

16

-

y2

20

=1的焦点、顶点，得出椭圆的a，c，b即可求出椭圆标准方程．
（Ⅱ）点P的坐标为（x，y），由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

解方程组可得点P的坐标
（Ⅲ）设点M是（m，0）于是

|m+6|

2

=|m-6|，解出m=2，建立椭圆上的点到M的距离d的表达式，用函数知识求最值

解答：解（I）已知双曲线实半轴a₁=4，虚半轴b₁=2

5

，半焦距c₁=

16+20

=6，
∴椭圆的长半轴a₂=c₁=6，椭圆的半焦距c₂=a₁=4，椭圆的短半轴b₂=

62-42

=

20

，
∴所求的椭圆方程为

x2

36

+

y2

20

=1
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），
设点P的坐标为（x，y），则

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)，由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

则2x²+9x-18=0，解之得x=

3

2

或x=-6，
由于y＞0，所以只能取x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，所以点P的坐标为(

3

2

，

5

2

3

)（9分）
（Ⅲ）直线AP：x-

3

y+6=0，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是

|m+6|

2

，于是

|m+6|

2

=|m-6|，
又∵点M在椭圆的长轴上，即-6≤m≤6∴m=2
∴当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-

5x2

9

=

4

9

(x-

9

2

)2+15
又-6≤x≤6∴当x=

9

2

时，d取最小值

15

点评：本题考查圆锥曲线的几何性质、标准方程、距离求解．考查函数知识、方程思想、计算能力．