Question

对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把函数（）叫做闭函数．

(1) 求闭函数符合条件②的区间；

(2) 若是闭函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1 ]（2）

解析:

（1）由题意，在上递增，则，……………………2分

解得或或…………………………………………………4分    

所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1 ].   ………………………………5分

（2）若是闭函数，则存在区间，在区间上，

函数的值域为          …………………………………………6分

    容易证明函数在定义域内单调递增，

    ∴ …………………………………………………………………7分

    ∴ 为方程的两个实数根. ………………………………9分

    即方程有两个不相等的实根.

或………………………………………12分

解得，综上所述，……………………………………………………14分