Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁和F₂，由4个点M（-a，b）、N（a，b）、F₂和F₁组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₁的直线和椭圆交于两点A、B，求△F₂AB面积的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意知b=，=3，所以a+c=3①，
又a²=b²+c²，即a²=3+c²②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为：；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点F₁的直线方程为x=ky-1，
由得（3k²+4）y²-6ky-9=0，△＞0成立，
且，，
△F₂AB的面积S==|y₁-y₂|=
==12=，
又k²≥0，所以递增，
所以9+1+6=16，
所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，
所以△F₂AB面积的最大值为3．
分析：解：（1）由题意知b=，=3，即a+c=3①，又a²=3+c²②，联立①②解得a，c，；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点F₁的直线方程为x=ky-1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F₂AB的面积S==|y₁-y₂|=，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（2）问的关键是合理表示三角形面积并对表达式恰当变形．