Question

点P（x，y）满足（x+2）²+（y+3）²=1求：
（1）求

y+3

x-2

的最大值
（2）x-2y的最小值．

Answer 1

分析：（1）

y+3

x-2

表示圆上的点与点（2，-3）连线的斜率，数形结合可知直线与圆相切时满足题意，由圆心到直线的距离等于半径可得k值；
（2）三角换元，令x=-2+cosθ，y=-3+sinθ，由三角函数的知识可得．

解答：解：（1）设

y+3

x-2

=k，则

y+3

x-2

表示圆上的点与点（2，-3）连线的斜率，
由图象可知当直线

y+3

x-2

=k与圆相切时斜率达到最大值和最小值．
直线kx-y-2k-3=0与圆（x+2）²+（y+3）²=1相切时满足圆心（-2，-3）到直线的距离等于半径，
即

|-2k+3-2k-3|

1+k2

=1，解得k=±

15

15

，故

y+3

x-2

的最大值是

15

15

；
（2）由圆的方程可令x=-2+cosθ，y=-3+sinθ，
∴x-2y=-2+cosθ+6-2sinθ=4+

5

cos(θ+?)，
∵-1≤cos（θ+?）≤1，
∴x-2y的最小值是4-

5

点评：本题考查直线与圆单位位置关系，涉及直线的斜率公式以及三角换元的思想，属中档题．