Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．

（1）证明：AP∥平面EBD；

（2）证明：BE⊥PC．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）连结AC交BD于点O，连结OE，利用三角形中位线可得AP∥OE，从而可证AP∥平面EBD；

（2）先证明BD⊥平面PCD，再证明PC⊥平面BDE，从而可证BE⊥PC．

证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE

因为四边形ABCD为平行四边形

∴O为AC中点，

又E为PC中点，

故AP∥OE，

又AP平面EBD，OE平面EBD

所以AP∥平面EBD；

（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点

所以PC⊥DE

因为平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD平面ABCD＝CD，

又BD平面ABCD，BD⊥CD

∴BD⊥平面PCD

又PC平面PCD，故PC⊥BD

又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE

故PC⊥平面BDE

又BE平面BDE，

所以BE⊥PC．