Question

如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD内的两点，E′E和F′F都与平面ABCD垂直，
（1）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD：
（2）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据EA=ED且EE'⊥平面ABCD证出E'D=E'C，则点E'在线段AD的垂直平分线上，同理证出F'在线段BC的垂直平分线上，再由ABCD是正方形证出结论；
（2）根据图形连接EB、EC，由题意证出BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF，根据条件求出这两个几何体的体积，求V_E-BCF需要换低求出．

解答：解：（1）∵EA=ED且EE'⊥平面ABCD，∴E'D=E'C，
∴点E'在线段AD的垂直平分线上，同理点F'在线段BC的垂直平分线上．
又∵ABCD是正方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线
即点E′F′都居线段AD的垂直平分线上，
∴直线E′F′垂直平分线段AD．

（2）连接EB、EC，设AD中点为M，
 由题意知，，AB=2，∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，∴ME=

3

，BE=FC=2，
则多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分，
在Rt△MEE 中，由于ME'=1，ME=

3

，∴EE'=

2

，
∴V_E-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•EE'=

1

3

×4×

2

=

4 2

3

，
∵V_E-BCF=V_C-BEF=V_C-BEA=V_E-ABC
=

1

3

S_△ABC•EE'=

1

3

× 

1

2

×4

2

=

2

3

2

，
∴多面体ABCDEF的体积为V_E-BCF+V_E-ABCD=2

2

．

点评：本题是关于线面垂直与组合体体积的求法综合题，利用线面垂直和线段相等证明垂直平分；用分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想，求三棱锥的体积时常用换低来求解，考查了推理论证和逻辑思维能力．