Question

12分）设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，a∈R，
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求原函数的导数；再根据f（x）在x=3处取得极值对应的结论f′（3）=0即可求实数a的值；
（2）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可．

解答：解：因为f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
所以：f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）
（1）∵f（x）在x=3处取得极值
∴f′（3）=0⇒6（3-a）（3-1）=0⇒a=3；
（2）∵a=3，
∴f′（x）=6（x-3）（x-1）．
令f′（x）＞0⇒x＞3或x＜1．
令f′（x）＜0⇒1＜x＜3
所以函数的增区间为（-∞，1]，[3，+∞）．
减区间为：[1，3]．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．