Question

已知函数f（x）=的定义域为（1，+∞）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞1）上的最小值．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=
∴f′（x）=，
令f′（x）=＜0?x＜2，所以函数f（x）=在区间（1，2）上单调递减；
令f′（x）=＞0?x＞2，所以函数f（x）=在区间（2，+∞）上单调递增．
（2）①当m＜2时，由于m＞1，故m+1＞2，故2∈[m，m+1]
∴函数f（x）=在区间（m，2）上单调递减
函数f（x）=在区间（2，m+1）上单调递增
∴函数f（x）的最小值为f（2）=e²．
②当m≥2时，函数f（x）=在区间[m，m+1]上单调递增，
所以函数f（x）的最小值为f（m）=．
综上，
分析：（1）直接求函数的导函数，利用两个函数商的求导法则，结合定义域（1，+∞），判断导函数正负即可；
（2）结合（1）所求函数的单调区间，对m分两种情况讨论，在给定区间上利用函数的研究函数单调性，求函数最值，注意端点函数值即可．
点评：本题考查导数的求法及其应用；分类讨论思想，关键熟练掌握两个函数商的求导法则，求最值是注意端点函数值，是中档题．