Question

如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求异面直线DF和BE所成角的大小；
（2）求几何体EF-ABCD的体积．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量

DF

，

BE

的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；
（2）利用几何体的体积V=V_E-ABCD+V_B-CEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．

解答： 解：（1）∵AD⊥DF，AD⊥DC，DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDF，∴AD⊥DE，又四边形CDEF为正方形，
∴AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线
分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），
∴

DF

=(0，2，2)，

BE

=(-2，-4，2)，
得|

DF

|=2

2

，|

BE

|=2

6

．
设向量

DF

，

BE

夹角为θ，则cosθ=

DF • BE

| DF |•| BE |

=

0•(-2)+2•(-4)+2•2

2 2 •2 6

=-

3

6

．
∵异面直线的夹角范围为(0，

π

2

]，
∴异面直线DF和BE所成的角为arccos

3

6

；                    
（2）如图，连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，则BN⊥平面CDEF，且BN=2．

∵V_EF-ABCD=V_E-ABCD+V_B-ECF=

1

3

S△ABCD•DE+

1

3

S△EFC•BN=

1

3

•

1

2

•(4+2)•2•2+

1

3

•

1

2

•2•2•2=

16

3

．
∴几何体EF-ABCD的体积为

16

3

．

点评：本题考查了异面直线所成角的求法，组合几何体体积的计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力，本题采用了向量法求异面直线所成的角，另外本题也可利用作平行线，证角，解三角形求角来求．