Question

如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足：．直线AP，BP分别交直线l：x=2于R，T两点．
（1）求曲线弧Γ的方程；
（2）设R，T两点的纵坐标分别为y₁，y₂，求证：y₁y₂=-1；
（3）求|RT|的最小值．

Answer 1

解：（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的半椭圆，．（2分）
∴Γ的方程为．（4分）
（注：不写区间“y＞0”扣1分）
（2）解法1：由（1）知，曲线Γ的方程为，设P（x₀，y₀），
则有x₀²+2y₀²=2，即①（6分）
又，，从而直线AP，BP的方程为
AP：；BP：．（7分）
令x=2得R，T的纵坐标分别为；．
∴②（9分）
将①代入②，得y₁y₂=-1．（10分）
解法2：设P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），则由A，P，R三点共线，得①
同理，由B，P，T三点共线得：②（6分）
由①×②得：．（8分）
由，代入上式，
即y₁y₂=-1．（10分）
（3）由（2）得：
当且仅当|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂时，取等号．（13分）
即|RT|的最小值是2．（14分）
分析：（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的半椭圆，由此能求出Γ的方程．
（2）解法1：由曲线Γ的方程为，设P（x₀，y₀，知x₀²+2y₀²=2，．由，，知AP：；BP：．由此能证明y₁y₂=-1．
解法2：设P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），则由A，P，R三点共线，得．同理，由B，P，T三点共线得：．所以．由此能证明y₁y₂=-1．
（3）由，知|RT|的最小值是2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．