Question

方程x²+-1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x⁴+ax-9=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，x⁴+ax-9=0的各个实根可看做是函数y=x³+a的图象与函数y=的图象的交点的横坐标，由于交点要在直线y=x的同侧，可先计算函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（-3，-3），再将函数y=x³纵向平移|a|，数形结合发现只需函数y=x³+a的图象与y=x的交点分布在A的外侧或B的外侧，故计算函数y=x³+a的图象过点A或B时a的值即可的a的范围
解答：解：如图x⁴+ax-9=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）
可看做是函数y=x³+a的图象与函数y=的图象的交点C，D的横坐标
∵函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（-3，-3），
函数y=x³+a的图象可看做是将函数y=x³纵向平移|a|的结果，其图象为关于（0，a）对称的增函数
当函数y=x³+a的图象过点A（3，3）时，a=-24
当函数y=x³+a的图象过点B（-3，-3）时，a=24
∴要使函数y=x³+a的图象与函数y=的图象的交点C、D均在直线y=x的同侧
只需使函数y=x³+a的图象与y=x的交点横坐标大于3或小于-3
∴数形结合可得a＜-24或a＞24
故答案为（-∞，-24）∪（24，+∞）
点评：本题考查了数形结合解决根的存在性及根的个数问题的方法，认真分析“动”函数与“定”函数的关系是解决本题的关键