Question

将一副三角板放在同一个平面上组成下图所示的四边形ACBD，△ABC中，∠C＝，AC＝BC，△ABD中，∠ABD＝，∠D＝．设AC＝a．现将四边形ACBD沿着AB翻折成直二面角C－AB－D，连结CD得一个四面体(如下图)．

　　

(1)求证：平面ACD⊥平面BCD；

(2)求直线AD和BC所成的角；

(3)求直线AD和平面BCD所成的角；

(4)求平面ACD和平面ABD所成二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

证明(1)∵∠ABD＝，∴DB⊥AB． 　　∵C－AB－D是直二面角，∴DB⊥平面ABC． 　　∴AC⊥BD． 　　又∵∠ACB＝，∴AC⊥BC． 　　∴AC⊥平面BCD． 　　∴平面ACD⊥平面BCD． 　　解(2)作AE∥DB，取AE＝DB(如图)．则ADBE是平行四边形．BE∥DA，BC与BE所成的锐角即是异面直线AD与BC所成的角．设AB与DE相交于O，则O是AB和DE的中点，∴CO⊥AB．∵C－AB－D是直二面角，∴CO⊥平面ADBE．∵OD＝OE，∴CE＝CD，而 ∴∠CBE＝即为所求的异面直线AD与BC所成的角． 　　解(3)由(1)已证DB⊥平面ABC，∴AC⊥BD．又AC⊥BC，∴AC⊥平面BCD且AC⊥CD．于是∠CDA为AD与平面BCD所成的角．在Rt△ACD中，AC＝a，，∴，∠CDA＝即为所求AD与平面BCD所成的角． 　　解(4)过C作CO⊥AB，O为垂足． 　　∵平面ABC⊥平面ABD，∴CO⊥平面ABD．在平面ABD内，作OE⊥AD，E为垂足，连结CE．根据三垂线定理，有CE⊥AD，∠CEO就是所求二面角的平面角． 　　∵AC＝a，AC＝BC，∠ACB＝，CO⊥AB， 　　∴AO＝BO＝CO＝． 　　∵∠ABD＝，∠ADB＝，∴． 　　在Rt△COE中，，∴∠CEO＝arctan2．

提示：

本题也可以用中位线法得出两条异面直线所成的角，然后计算出二面角的平面角的大小．如图，M，N，O分别是AC，CD，AB的中点，则MN与OM所成的锐角就是异面直线AD与BC所成的角．在直角△COD中，ON是斜边上的中线，得．不难计算得出结果．