Question

【题目】是双曲线上一点， 分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点， 为坐标原点， 为双曲线上一点，满足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线＝1上，有＝1， 1分

由题意又有·＝， 2分

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝. 4分

(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则① 6分

设， ，即

又C为双曲线上一点，即－5＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2。7分

化简得：λ2(－5)＋(－5)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2 。9分

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以－5＝5b2， －5＝5b2

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2

得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4. 12分