Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：本题可构造函数g(x)=

f(x)

x

（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g（x）的图象解不等式，得到本题结论．

解答： 解：记g(x)=

f(x)

x

（x≠0），
则g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

．
∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），
∴当x＜0时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（-∞，0）上单调递减．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g(-x)=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=

f(x)

x

=g(x)，
∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵f（3）=0，
∴g（3）=

f(3)

3

=0，
∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（-3，0）．
∵不等式f（x）≥0，
∴xg（x）≥0，
∴

x＞0 g(x)＞0

或

x＜0 g(x)＜0

，或f（x）=0
∴-3≤x≤0或x≥3．
∴不等式f（x）≥0的解集是{x|-3≤x≤0或x≥3}．
故答案为：{x|-3≤x≤0或x≥3}．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．