Question

【题目】如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,,平面,点是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）当时,求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，则，分别为，中点，由三角形中位线定理可得 ,从而可得结论；（2）取线段的中点，先证明垂直于平面，则点到平面的距离即为的长度. 结合A，可得点到平面的距离即为的长度. 由为的中点，可得点到平面的距离即为的长度，利用即可得结果.

（1）如图，

连接AC交BD于点O，连接MO.

∵M，O分别为PC，AC中点，

∴PA∥MO ,

∵PA不在平面BMD内，MO平面BMD.

∴PA∥平面BMD.

（2）如图，取线段BC的中点H，连结AH.

∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.

∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA.

又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD.

AH⊥平面PAD.∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.

∴BC∥AD，∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.

∵M为PC的中点，∴点M到平面PAD的距离即为AH的长度.

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