Question

已知定点A（2，-3），动点B在直线2x-y+3=0上运动，当线段AB最短时，求点B的坐标及|AB|．

Answer 1

分析：当直线AB与已知直线垂直时，垂足为点B，此时线段AB的长度最短，所以根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率为2，求出直线AB的斜率为-

1

2

，根据点A和求出的斜率写出直线AB的方程，然后联立直线AB与已知直线得到关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到点B的坐标．

解答：解：如图．易知当AB的连线与已知直线垂直时，AB的长度最短．
直线2x-y+3=0的斜率k=2，
∴AB的斜率K_AB=-

1

2

AB的斜率的方程为：
y+3=-

1

2

（x-2），⇒x+2y+4=0，

x+2y+4=0 2x-y+3=0

⇒

x=-2 y=-1

，
B的坐标为（-2，-1），
此时|AB|=

(2+2)2+(-3+1)2

=2

5

．

点评：此题的关键是找出直线AB与已知直线垂直即垂足为点B时，线段AB最短．要求学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，是一道中档题．