Question

已知函数f（x）=

4x+1

2x

和函数g（x）=2^x-2^-x．
（1）判断h（x）=

f(x)

g(x)

的奇偶性，并求其单调区间；
（2）若函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意h（x）=

f(x)

g(x)

=

4x+1 2x

2x-2-x

=

4x+1

4x-1

，代入检验h（-x）与h（x）的关系即可判断函数的奇偶性；
（2）由函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，可得h′（x）≥0恒成立，整理可得λ≥1-

2

1+ 1 4x

恒成立，从而可求λ的范围．

解答： 解：（1）h（x）=

f(x)

g(x)

=

4x+1 2x

2x-2-x

=

4x+1

4x-1

，
∴h（-x）=

4-x+1

4-x-1

=

1+4x

1-4x

=-h（x）
∴函数h（x）为奇函数；
∵h（x）=

4x+1

4-x-1

=1+

2

4x-1

，∵4^x是增函数，
∴h（x）=1+

2

4x-1

是减函数，
∴它的单调增区间为（-∞，0）和（0，+∞）；
（2）∵函数h（x）=f（x）+λg（x）=（1+λ）2^x+（1-λ）2^-x是R上的增函数，
∴h′（x）≥0恒成立，
即（1+λ）2^xln2-（1-λ）2^-xln2≥0恒成立，
整理得λ≥1-

2

1+ 1 4x

恒成立
∴λ≥1．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及理由定义证明、判断函数的单调性，及函数单调性的定义的应用，属于函数知识的综合应用，具有一定的综合性．