Question

如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，，∠SDC=120°．
（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；
（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间上角坐标系，
（1）设平面SAB的法向量为

n

=(x，y，z)，利用

2x-z=0 -x+ 3 y-2z=0

，得

n

=(

3

，5，2

3

)，设SC与平面SAB所成角为θ，
通过sinθ=|cos＜

SC

，

n

＞|=

2 3

2 3 ×2 10

=

10

20

，求出SC与平面SAB所成角的正弦值为

10

20

．
（2）设平面SAD的法向量为

m

=(x，y，z)，利用

-2z=0 -x+ 3 y-2z=0

，得

m

=(

3

，1，0)．利用cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |×| m |

=

8

2 10 ×2

=

10

5

，求出平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是

10

5

．

解答：解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，
分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间上角坐标系．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=30°，
又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为

3

．
则有D（0，0，0），S(-1，

3

，0)，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）

（1）设平面SAB的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

AB

=(2，0-1)，

AS

=(-1，

3

，-2)．
则有

2x-z=0 -x+ 3 y-2z=0

，取x=

3

，
得

n

=(

3

，5，2

3

)，又

SC

=(3，-

3

，0)，
设SC与平面SAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

SC

，

n

＞|=

2 3

2 3 ×2 10

=

10

20

，
故SC与平面SAB所成角的正弦值为

10

20

．（9分）
（2）设平面SAD的法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

AD

=(0，0-2)，

AS

=(-1，

3

，-2)，
则有

-2z=0 -x+ 3 y-2z=0

，取x=

3

，得

m

=(

3

，1，0)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |×| m |

=

8

2 10 ×2

=

10

5

，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是

10

5

．（14分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．